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难题

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208 项

P-0001置顶站务指南

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1 天前推进

P-0079图论 · 组合数学

能否构造至少 18 个顶点的 Leech 树？

求一棵 n≥18n\ge18 个顶点的树，为每条边赋正整数权，使全部 (n2)\binom n2 对不同顶点之间的路径权重和恰好是 1,2,…,(n2)1,2,\ldots,\binom n2，各出现一次。
18 天前推进
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P-0003组合数学

OEIS A039824：多项式中不同系数值的个数

对 n≥1n\ge1 定义 Pn(q)=∏i=1n(1+q+q3+q5+⋯+q2i−1)=∑k=0n2c(n,k)qk.P_n(q)=\prod_{i=1}^n(1+q+q^3+q^5+\cdots+q^{2i-1}) =\sum_{k=0}^{n^2}c(n,k)q^k. 令 a(n)a(n) 为 Pn(q)P_n(q) 的 n2+1n^2+1 个系数中不同整数值的个数。证明或反驳：对每个 n>6n>6，
38 天前推进
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P-0021代数与表示论

Buchsbaum–Eisenbud–Horrocks 猜想的 Betti 数下界

设 RR 为 Spec⁡R\operatorname{Spec}R 连通的交换 Noether 环，M≠0M\ne0 为有限生成且投射维有限的 RR-模。取任意有限投射分解
41 天前推进
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P-0015代数与表示论

Kourovka 21.51：p 群中的同阶正规阿贝尔子群

设有限 pp 群 PP 含有阶为 pnp^n 的阿贝尔子群。它是否必含同阶的正规阿贝尔子群？另问：若前者是初等阿贝尔子群，是否必含同阶的正规初等阿贝尔子群？
45 天前推进
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P-0020代数与表示论

Köthe conjecture：两个 nil 右理想之和是否仍为 nil

设 RR 为环，I,JI,J 为 RR 的两个 nil 右理想，即 II 与 JJ 中每个元素都分别是幂零元。是否 I+JI+J 仍为 nil 右理想？
47 天前推进
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P-0016代数与表示论

Kourovka 21.115：有限群陪集并集的余集下界

设 GG 为有限群，C1,…,CnC_1,\ldots,C_n 分别是左陪集或右陪集，令 U=C1∪⋯∪Cn.U=C_1\cup\cdots\cup C_n. 若 U≠GU\ne G，是否总有 ∣G∖U∣≥∣G∣2n?|G\setminus U|\ge\frac{|G|}{2^n}? 允许左、右陪集混合；必须保留真不覆盖条件 U≠GU\ne G。
47 天前推进
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P-0014代数与表示论

Kourovka 21.28：derangement 比例的统一下界 -

设有限单群 GG 传递作用在有限集合 Ω\Omega 上，令 Δ\Delta 为所有无不动点元素的集合。证明或反驳：
47 天前推进
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P-0013代数与表示论

Kourovka 21.27：两个 derangements 的乘积

设有限单群 GG 在有限集合 Ω\Omega 上传递作用，令 Δ={x∈G:x 在 Ω 上没有不动点}.\Delta=\{x\in G:x\text{ 在 }\Omega\text{ 上没有不动点}\}. 是否总有 G=Δ2G=\Delta^2？等价地，GG 的每个元素能否写成两个 derangements 的乘积？
47 天前推进
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P-0017代数与表示论 · 组合数学

Kourovka 21.130：奇阶阿贝尔群子集的循环相邻和互异

设 GG 是奇数阶有限加法阿贝尔群，A⊆GA\subseteq G 且 ∣A∣=n>2|A|=n>2。是否总能把 AA 循环排列为
47 天前推进
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P-0048几何

67×6767\times67 网格中是否存在 134134 个无三点共线的点

令 G67={0,1,…,66}2.G_{67}=\{0,1,\ldots,66\}^2. 是否存在一个含134个点的集合 S⊆G67S\subseteq G_{67}，使得 SS 中任意三个不同点都不共线？
23 天前推进

P-0056几何 · 优化与运筹

容纳 99 个单位圆的三角形最小面积是否为 18+12318+12\sqrt3？

在所有非退化三角形 TT 中，考虑能够容纳 9 个半径为 1、内部两两不交的闭圆的那些三角形。求 A9=inf⁡{area⁡(T):T 可容纳这 9 个单位圆}.A_9=\inf\{\operatorname{area}(T):T\text{ 可容纳这 9 个单位圆}\}.
23 天前推进
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P-0055几何 · 优化与运筹

1212 个平面点的最小直径比：能否突破 2.9093129182.909312918？

对平面上 12 个互异点组成的集合 SS，定义 d(S)=min⁡p≠q∈S∥p−q∥,D(S)=max⁡p,q∈S∥p−q∥,d(S)=\min_{p\ne q\in S}\|p-q\|,\qquad D(S)=\max_{p,q\in S}\|p-q\|, 以及尺度不变的直径比 R(S)=D(S)d(S).R(S)=\frac{D(S)}{d(S)}.
23 天前推进
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P-0054几何 · 优化与运筹

单位正方形能否容纳 1212 个边长严格大于 14\frac14 的全等正方形？

在单位正方形 [0,1]2[0,1]^2 内放置 12 个全等小正方形；每个小正方形允许独立旋转，内部必须两两不交，边界允许相切。
23 天前推进
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P-0053几何

确定 1212 点平面点集的最大反射度：ρ(12)=3\rho(12)=3 还是 44？

设 SS 是平面上 12 个一般位置点（无三点共线）的集合。SS 的一个多边形化是一个以 SS 恰为顶点集的简单多边形。定义 ρ(S)=min⁡P{P 的凹顶点数},\rho(S)=\min_P\{P\text{ 的凹顶点数}\}, 其中最小值遍历 SS 的所有多边形化；再定义 ρ(12)=max⁡∣S∣=12ρ(S).\rho(12)=\max_{|S|=12}\rho(S).
23 天前推进
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P-0052几何 · 优化与运筹

半径 1,2,…,101,2,\ldots,10 的十个圆装入正方形：改进或认证边长 38.58042641538.580426415

给定十个闭圆 C1,…,C10C_1,\dots,C_{10}，其中 CiC_i 的半径恰为 ii。要求它们的内部两两不交，并全部位于同一个轴平行正方形 [0,L]2[0,L]^2 内。求最小可能边长 L10=inf⁡L.L_{10}=\inf L.
23 天前推进
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P-0051几何 · 优化与运筹

单位圆内 1515 个等圆的最大半径

在单位圆盘 D={(x,y)∈R2:x2+y2≤1}D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le1\} 内放置 15 个半径相同、内部两两不交的闭圆。记最大可行公共半径为 r15r_{15}，请确定 r15r_{15} 的精确值并给出严格最优性证明。
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P-0046代数与表示论

有限群的 pp-Brauer 特征标数量是否总由某个 p′p'-子群的共轭类数控制

设 GG 为有限群，pp 为素数。若元素的阶不被 pp 整除，称它为 pp-正则元素；记
23 天前推进
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P-0050几何 · 优化与运筹

四分之一圆内 1111 个等圆的最优半径：突破或认证 0.1278405950.127840595

设 Q={(x,y)∈R2:x≥0, y≥0, x2+y2≤1}Q=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1\} 为单位四分之一圆。求最大的实数 r11r_{11}，使得 QQ 内可以放置 11 个半径均为 r11r_{11}、内部两两不交的闭圆。
23 天前推进
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P-0049组合数学

MOLS⁡(10)\operatorname{MOLS}(10)：三个 1010 阶两两正交拉丁方是否存在

设 L(1),L(2),L(3):{0,1,…,9}2→{0,1,…,9}L^{(1)},L^{(2)},L^{(3)}:\{0,1,\ldots,9\}^2\to\{0,1,\ldots,9\} 为三个10阶拉丁方，即每个 L(t)L^{(t)} 的每一行和每一列都恰好包含一次 0,1,…,90,1,\ldots,9。
23 天前推进
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